Afirmación sobre límites con radicales - Límites - Cálculo de Una Variable

Justifique la verdad o falsedad de la siguiente afirmación
Siempre se cumple que
\[\lim_{x\rightarrow a}\sqrt{f(x)}=\sqrt{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}\]
Solución.

Sea
\[f(x)=x,\ Dom(f)=\mathbb{R}\]
Observemos que
\[\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=\lim_{x\rightarrow 0}x=0\]
\[\lim_{x\rightarrow 0^+}\sqrt{f(x)}=\lim_{x\rightarrow 0^+}\sqrt{x}=0\]
Este límite lateral es posible pues si \(x\rightarrow 0^+\), \(x>0\). Pero, no es posible \(\lim_{x\rightarrow 0^-}\sqrt{f(x)}=\lim_{x\rightarrow 0^-}\sqrt{x}\), pues si \(x\rightarrow 0^-\), \(x<0\) y no tiene caso \(\sqrt{x}\).

Por lo tanto, no siempre se cumple que \(\lim_{x\rightarrow a}\sqrt{f(x)}=\sqrt{\lim_{x\rightarrow a}f(x)}\).

La afirmación es falsa.


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