Alquiler de habitaciones para estudiantes universitarios - Ecuaciones Diferenciales de Variables Separables

El alquiler de las habitaciones para estudiantes en un lugar cercano a una universidad, varía según sea la distancia de la vivienda con respecto a la universidad. Suponiendo que tal relación está dada por
\[\dfrac{dy}{dx}=-\left(\dfrac{2}{x}+0.01\right)\qquad 20\leq x\leq 400\]
en donde \(y\) es la renta mensual (en soles) y \(x\) es la distancia (en metros) a la universidad.
Obtener \(y\) como una función de \(x\), si \(y=300\) cuando \(x=20\).

Solución.

Tenemos la siguiente ecuación diferencial
\[\dfrac{dy}{dx}=-\left(\dfrac{2}{x}+0.01\right)\]
Ésta es una ecuación diferencial de variables separables
Integramos
\[y=-(2\ln x+0.01x)+k\]
Donde \(k\) es la constante de integración. Usamos el dato del problema, \(y=300\) cuando \(x=20\)
\[300=-(2\ln(20)+0.01(20))+k\Rightarrow k=303.2\]
Por lo tanto
\[y=-(2\ln x+0.01x)+303.2\text{ soles}\]


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