Calcula la derivada mediante derivación implícita - Derivadas - Cálculo de Una Variable

Calcular \(\dfrac{dy}{dx}\) si
\[\ln(xy)+\cos(x+y^2)=e^y\]
Solución.

Como \(y\) no se puede expresar de manera explícita en función de \(x\), entonces procedemos a derivar implícitamente.
\[\begin{align}\dfrac{d}{dx}\left[\ln(xy)+\cos(x+y^2)\right]&=\dfrac{d}{dx}[e^y]\\ \dfrac{1}{xy}(y+xy')-\sin(x+y^2)\cdot(1+2yy')&=e^yy'\\ \dfrac{1}{x}+\dfrac{y'}{y}-\sin(x+y^2)-2y\sin(x+y^2)y'&=e^yy'\end{align}\]
Vamos a despejar \(y'\)
\[\begin{align}\dfrac{y'}{y}-2y\sin(x+y^2)y'-e^yy'&=\sin(x+y^2)-\dfrac{1}{x}\\ \left[\dfrac{1}{y}-2y\sin(x+y^2)-e^y\right]y'&=\sin(x+y^2)-\dfrac{1}{x}\\ y'&=\dfrac{\sin(x+y^2)-\dfrac{1}{x}}{\dfrac{1}{y}-2y\sin(x+y^2)-e^y}\end{align}\]


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