Costo de elaborar y supervisar un pedido - Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

Supóngase que la tasa de incremento en el costo \(y\) (en soles) de elaborar y supervisar un pedido de barras de aluminio, a medida que crece la extensión o magnitud del pedido a surtir \(x\) (en unidad de barra de aluminio), es igual a la razón de la suma de los cuadrados del costo y la magnitud del pedido, dividida entre el doble producto del costo y la magnitud o tamaño del pedido. Determinar la relación entre el costo de elaborar y supervisar, y el tamaño o magnitud de la orden si \(y=5\) soles cuando \(x=1\).

Solución.

Según lo indica el problema
\[\begin{align}\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{y^2+x^2}{2xy}\\ & \\ 2xydy&=(y^2+x^2)dx\end{align}\]
De donde
\[2xydy-(y^2+x^2)dx=0\qquad\ldots\mbox{(I)}\]
Sean las funciones \(M(x,y)=2xy\) y \(N(x,y)=y^2+x^2\). Estas funciones son homogéneas de grado 2, en efecto
\[\begin{align}M(tx,ty)&=2(tx)(ty)=t^2(2xy)=t^2M(x,y)\\ N(tx,ty)&=(ty)^2+(tx)^2=t^2y^2+t^2x^2=t^2(y^2+x^2)=t^2N(x,y)\end{align}\]
Entonces la ecuación diferencial \(\mbox{(I)}\) es homogénea.
Hacemos el cambio de variable \(y=vx\), de donde \(dy=vdx+xdv\).
Reemplazamos en \(\mbox{(I)}\) y operamos
\[\begin{align}2x(vx)(vdx+xdv)-((vx)^2+x^2)dx&=0\\ 2x^2v^2dx+2x^3vdv-(v^2x^2+x^2)dx&=0\\ 2x^2v^2dx+2x^3vdv-v^2x^2dx+x^2dx&=0\\ 2x^3vdv+(v^2x^2-x^2)dx&=0\\ 2x^3vdv+x^2(v-1)dx&=0\\ \dfrac{2v}{v^2-1}dv+\dfrac{dx}{x}&=0\qquad\ldots\mbox{(II)}\end{align}\]
Integrando \(\mbox{(II)}\) obtenemos
\[\begin{align}\ln(v^2-1)+\ln x&=k\\ \ln[(v^2-1)x]&=k\\ (v^2-1)x&=e^k\\ (v^2-1)x&=k\end{align}\]
Donde \(k\) es la constante de integración.
Sustituyendo \(v=\dfrac{y}{x}\)
\[\begin{align}\left(\left[\dfrac{y}{x}\right]^2-1\right)x&=k\\ \dfrac{y^2-x^2}{x}&=k\\ y^2-x^2&=kx\\ y&=(kx+x^2)^{1/2}\end{align}\]
Nos falta encontrar \(k\). Usamos la condición inicial, \(y=5\) soles cuando \(x=1\)
\[\begin{align}5&=(k(1)+(1)^2)^{1/2}\\ 25&=k+1\\ k&=24\end{align}\]
Por lo tanto
\[y=(24x+x^2)^{1/2}\text{ soles}\]


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