Costo de manufactura - Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

En una empresa textil, la relación entre el costo de manufactura por camisa, \(C\), y el número de clases de camisas fabricados, \(N\), es tal que la tasa de incremento del costo de manufactura, a medida que aumenta el número de clases, es igual a la razón del costo por camisa más el número de clases de camisas que se manufacturan. Hallar la relación entre el costo de fabricación por camisa y el número de clases de camisas fabricadas si \(C=10\) soles cuando \(N=1\).

Solución.

Según lo indica el problema
\[\begin{align}\dfrac{dC}{dN}&=\dfrac{C+N}{N}\\ & \\ 0&=NdC-(C+N)dN\qquad\ldots\mbox{(I)}\end{align}\]
Sean las funciones \(F(C,N)=N\) y \(G(C,N)=-(C+N)\). Estas son funciones homogéneas de grado 1, en efecto
\[\begin{align}F(tC,tN)&=tN=tF(C,N)\\ G(tC,tN)&=tC+tN=t(C+N)=tG(C,N)\end{align}\]
Entonces  la ecuación diferencial \(\mbox{(I)}\) es homogénea.
Hacemos la sustitución \(C=vN\) y \(dC=vdN+Ndv\).
Reemplazando en \(\mbox{(I)}\)
\[\begin{align}N(vdN+Ndv)&=(vN+N)dN\\ NvdN+N^2dv&=vNdN+NdN\\ N^2dv&=NdN\\ dv&=\dfrac{dN}{N}\end{align}\]
Integrando obtenemos
\[v=\ln N+k\qquad\ldots\mbox{(II)}\]
Donde \(k\) es la constante de integración.
Sustituyendo \(v=\dfrac{C}{N}\) en \(\mbox{(II)}\)
\[\begin{align}\dfrac{C}{N}&=\ln N+k\\ C&=N\ln N+Nk\end{align}\]
Nos falta encontrar el valor de \(k\). Por dato, \(C=10\) cuando \(N=1\)
\[10=1\ln 1+k\Rightarrow k=10\]
Por lo tanto
\[\begin{align}C&=N\ln N+10N\\ & \\ C&=N(\ln N+10)\text{ soles}\end{align}\]


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