Límite al infinito e integral divergente - Integrales - Cálculo de Una Variable

Justifique la verdad o falsedad de la siguiente afirmación:
Sea \(f:[a,+\infty[\rightarrow\mathbb{R}\) una función integrable en \([a,t]\)  para todo \(t\geq a\). Si \(\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=L\neq 0\) entonces la integral \(\int_a^{+\infty}f(x)dx\) diverge. El recíproco también se cumple.

Solución.

Sea \(f:[1,+\infty[\rightarrow\mathbb{R}\), definido por
\[f(x)=\dfrac{1}{x}\]
Observemos que \(f\) es integrable en \([1,t]\) para todo \(t\geq 1\).
Además
\[\begin{align}\int_1^{+\infty}f(x)dx&=\int_1^{+\infty}\dfrac{1}{x}dx\\ &=\ln(x)|_{1}^{+\infty}\\ &=+\infty\end{align}\]
Es decir, la integral diverge, pero
\[\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}\dfrac{1}{x}=0\]
Por lo tanto, el recíproco es falso.


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