Relación entre el costo y el número de unidades fabricadas - Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

La tasa de cambio del costo y con respecto al número x de unidades fabricadas, es igual al triple del cuadrado del costo menos el cuadrado del número de unidades, dividido todo entre el producto del costo y el número de unidades. Determine la relación entre el costo y el número de unidades fabricadas, si \(y=4\) cuando \(x=1\).

Solución.

Según lo indica el problema, tenemos la siguiente ecuación diferencial
\[\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3y^2-x^2}{yx}\]
Operamos
\[\begin{align}\dfrac{dy}{dx}&=\dfrac{3y}{x}-\dfrac{x}{y}\\ dy&=\left(\dfrac{3y}{x}-\dfrac{x}{y}\right)dx\\ 0&=\left(\dfrac{3y}{x}-\dfrac{x}{y}\right)dx-dy\quad\ldots\mbox{(I)}\end{align}\]
Sean las funciones \(F(x,y)=\dfrac{3y}{x}-\dfrac{x}{y}\) y \(G(x,y)=1\). Estas funciones son homogéneas, en efecto
\[\begin{align}F(tx,ty)&=\dfrac{3(ty)}{tx}-\dfrac{tx}{ty}=\dfrac{3y}{x}-\dfrac{x}{y}=F(x,y)\\ G(tx,ty)&=1=G(x,y)\end{align}\]
Luego, la ecuación diferencial \(\mbox{(I)}\) es homogénea.
Hacemos la sustitución: \(y=vx\), \(dy=vdx+xdv\).
En \(\mbox{(I)}\)
\[\begin{align}\left(3v-\dfrac{1}{v}\right)dx-(vdx+xdv)&=0\\ \left(2v-\dfrac{1}{v}\right)dx-xdv&=0\\ xdv&=\left(\dfrac{2v^2-1}{v}\right)dx\\ \dfrac{vdv}{2v^2-1}&=\dfrac{dx}{x}\end{align}\]
Integramos
\[\begin{align}\int\dfrac{vdv}{2v^2-1}&=\int\dfrac{dx}{x}\\ \dfrac{1}{4}\int\dfrac{d(2v^2-1)}{2v^2-1}&=\int\dfrac{dx}{x}\\ \dfrac{1}{4}\ln(2v^2-1)&=\ln x+k\end{align}\]
Donde \(k\) es la constante de integración.
Seguimos operando para despejar \(v\)
\[\begin{align}\ln(2v^2-1)&=4\ln x+k\\ 2v^2-1&=x^4e^k\\ 2v^2-1&=kx^4\\ v^2&=\dfrac{4x^4+1}{2}\end{align}\]
Como \(v=\dfrac{y}{x}\)
\[\begin{align}\left(\dfrac{y}{x}\right)&=\dfrac{4x^4+1}{2}\\ \dfrac{y^2}{x^2}&=\dfrac{4x^4+1}{2}\\ y^2&=x^2\left(\dfrac{4x^4+1}{2}\right)\\ y&=\pm x\sqrt{\dfrac{kx^4+1}{2}}\end{align}\]
De donde, el resultado con signo menos es descartado, pues \(y\) representa el costo y no puede ser negativo.
\[y=x\sqrt{\dfrac{kx^4+1}{2}}\]
Nos falta encontrar el valor de \(k\). Usamos la condición del problema, \(y=4\) cuando \(x=1\)
\[4=(1)\sqrt{\dfrac{k(1)^4+1}{2}}\Rightarrow k=31\]
Por lo tanto
\[y=x\sqrt{\dfrac{31x^4+1}{2}}\]


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