Relación entre el volumen de ventas y el precio - Ecuaciones Diferenciales Homogéneas

La tasa de cambio del volumen de ventas, \(V\), a medida que decrece el precio \(p\), es igual al volumen de ventas dividido por el precio y menos una constante. Halle la relación entre el volumen de ventas y el precio, si \(V=V_0\) cuando \(p=p_0\).

Solución.

Planteamos la ecuación diferencial
\[-\dfrac{dV}{dp}=\dfrac{V}{p}-a\]
Donde \(a\) es la constante que indica el problema y el signo “−” es debido a que decrece el precio.
Operamos
\[\begin{align}-dV&=\left(\dfrac{V}{p}-a\right)dp\\ 0&=dV+\left(\dfrac{V}{p}-a\right)dp\quad\ldots\mbox{(I)}\end{align}\]
Sean las funciones \(F(V,p)=1\) y \(G(V,p)=\dfrac{V}{p}-a\). Estas funciones son homogéneas, en efecto
\[\begin{align}F(tV,tp)&=1=F(tV,tp)\\ G(tV,tp)&=\dfrac{tV}{tp}-a=\dfrac{V}{p}-a=G(V,p)\end{align}\]
Luego, la ecuación diferencial \(\mbox{(I)}\) es una ecuación diferencial homogénea.
Hacemos la sustitución \(V=yp\) y \(dV=ydp+pdy\)
Reemplazando en \(\mbox{(I)}\)
\[\begin{align}ydp+pdy+\left(\dfrac{yp}{p}-a\right)dp&=0\\ pdy-adp&=0\\ pdy&=adp\\ dy&=\dfrac{adp}{p}\end{align}\]
Integramos
\[y=a\ln p+k\]
Como \(y=\dfrac{V}{p}\)
\[\begin{align}\dfrac{V}{p}&=a\ln p+k\\ V&=p(a\ln p+k)\end{align}\]
Ahora nos falta encontrar el valor de \(k\), para esto usamos la condición que nos da el problema, \(V=V_0\) cuando \(p=p_0\)
\[V_0=p_0(a\ln p_0+k)\Rightarrow k=\dfrac{V_0}{p_0}-a\ln p_0\]
Por lo tanto
\[V=p\left(a\ln p+\dfrac{V_0}{p_0}-a\ln p_0\right)\]


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