Resolver usando el Primer Teorema Fundamental del Cálculo - Cálculo de Una Variable

Sea
\[F(x)=\int_0^x\left[\int_0^tf(u)du\right]dt\]
donde \(f\) está definida por \(f(u)=u\ln u\).
Calcule
\[\dfrac{d^2}{dx^2}[F(x)]_{x=e}\]
Solución.

Primero encontramos \(\dfrac{dF}{dx}\), usamos el Primer Teorema Fundamental del Cálculo
\[\begin{align}\dfrac{d}{dx}[F(x)]&=\dfrac{d}{dx}\left(\int_0^x\left[\int_0^tf(u)du\right]dt\right)\\ \dfrac{d}{dx}[F(x)]&=\int_0^xf(u)du\end{align}\]
Ahora usamos de nuevo el Primer Teorema Fundamental del Cálculo para obtener \(\dfrac{d^2}{dx^2}[F(x)]\)
\[\begin{align}\dfrac{d^2}{dx^2}[F(x)]&=\dfrac{d}{dx}\left(\int_0^xf(u)du\right)\\ \dfrac{d^2}{dx^2}[F(x)]&=f(x)\end{align}\]
Ahora evaluamos en \(x=e\)
\[\dfrac{d^2}{dx^2}[F(x)]_{x=e}=f(e)=e\ln(e)=e\]


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