¿Entre qué valores se encuentra el costo total? - Desigualdades

Sea el ingreso \(I(x)=5x\) y la utilidad \(U(x)=1.5x-600\), ambos en soles, donde \(x\) representa el número de unidades producidas y vendidas. Si su producción varía entre 1200 y 2400 unidades, ¿entre qué valores se encuentra el costo total?

Solución.

Sea \(C(x)\) el costo total. Sabemos que \(U(x)=I(x)-C(x)\), entonces \(C(x)=I(x)-U(x)\), es decir
\[\begin{align}C(x)&=5x-(1.5x-600)\\ C(x)&=3.5x+600\end{align}\]
Por dato, la producción varía entre 1200 y 2400 unidades, es decir
\[1200\leq x\leq 2400\qquad\ldots\mbox{(I)}\]
Multiplicamos la inecuación \(\mbox{(I)}\) por 3.5
\[4200\leq 3.5x\leq 8400\qquad\ldots\mbox{(II)}\]
Sumamos 600 en cada lado de la inecuación \(\mbox{(II)}\)
\[4800\leq 3.5x+600\leq 9000\]
Como \(C(x)=3.5x+600\), entonces
\[4800\leq C(x)\leq 9000\]
El costo total se encuentra entre 4800 y 9000 soles.


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