¿Entre qué valores se encuentra el costo total? - Desigualdades

Sea el ingreso $I(x)=5x$ y la utilidad $U(x)=1.5x-600$, ambos en soles, donde $x$ representa el número de unidades producidas y vendidas. Si su producción varía entre 1200 y 2400 unidades, ¿entre qué valores se encuentra el costo total?

Solución.

Sea $C(x)$ el costo total. Sabemos que $U(x)=I(x)-C(x)$, entonces $C(x)=I(x)-U(x)$, es decir
$$\begin{align}C(x)&=5x-(1.5x-600)\\ C(x)&=3.5x+600\end{align}$$
Por dato, la producción varía entre 1200 y 2400 unidades, es decir
$$1200\leq x\leq 2400\qquad\ldots\mbox{(I)}$$
Multiplicamos la inecuación $\mbox{(I)}$ por 3.5
$$4200\leq 3.5x\leq 8400\qquad\ldots\mbox{(II)}$$
Sumamos 600 en cada lado de la inecuación $\mbox{(II)}$
$$4800\leq 3.5x+600\leq 9000$$
Como $C(x)=3.5x+600$, entonces
$$4800\leq C(x)\leq 9000$$
El costo total se encuentra entre 4800 y 9000 soles.


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