Nivel de producción para minimizar el costo medio - Derivadas - Optimización - Cálculo de Una Variable

Suponga que cuando se producen \(q\) unidades de cierto artículo, el costo total de fabricación es \(C(q)=2q^2+10q+162\) dólares. ¿En qué nivel de producción será menor el costo medio por unidad?

Solución.

El costo medio por unidad es
\[\begin{align}A(q)&=\dfrac{C(q)}{q}\\ A(q)&=\dfrac{2q^2+10q+162}{q}\\ A(q)&=2q+10+\dfrac{162}{q}\end{align}\]
Para encontrar un valor extremo de \(A(q)\) usamos el criterio de la primera derivada. Derivamos \(A(q)\)
\[A'=2-\dfrac{162}{q^2}\]
Igualamos la derivada a cero
\[\begin{align}A'=2-\dfrac{162}{q^2}&=0\\ 2q^2&=162\\ q^2&=81\\ q&=\pm 9\end{align}\]
Para \(q\) no tienen sentido valores negativos, así que \(q=9\). Para verificar si en \(q=9\) el costo medio por unidad tiene un mínimo usamos el criterio de la segunda derivada.
\[A^{\prime\prime}=\dfrac{324}{q^3}\]
Observamos que \(A^{\prime\prime}\) siempre es positivo (pues \(q>0\)), en particular para \(q=9\), \(A^{\prime\prime}(9)>0\).
Es decir, en \(q=9\) hay un mínimo para el costo medio por unidad.
Por lo tanto, cuando se producen \(9\) unidades del artículo el costo medio por unidad se hace mínimo.


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