Nivel de producción para minimizar el costo medio - Derivadas - Optimización - Cálculo de Una Variable

Suponga que cuando se producen $q$ unidades de cierto artículo, el costo total de fabricación es $C(q)=2q^2+10q+162$ dólares. ¿En qué nivel de producción será menor el costo medio por unidad?

Solución.

El costo medio por unidad es
$$\begin{align}A(q)&=\dfrac{C(q)}{q}\\ A(q)&=\dfrac{2q^2+10q+162}{q}\\ A(q)&=2q+10+\dfrac{162}{q}\end{align}$$
Para encontrar un valor extremo de $A(q)$ usamos el criterio de la primera derivada. Derivamos $A(q)$
$$A'=2-\dfrac{162}{q^2}$$
Igualamos la derivada a cero
$$\begin{align}A'=2-\dfrac{162}{q^2}&=0\\ 2q^2&=162\\ q^2&=81\\ q&=\pm 9\end{align}$$
Para $q$ no tienen sentido valores negativos, así que $q=9$. Para verificar si en $q=9$ el costo medio por unidad tiene un mínimo usamos el criterio de la segunda derivada.
$$A^{\prime\prime}=\dfrac{324}{q^3}$$
Observamos que $A^{\prime\prime}$ siempre es positivo (pues $q>0$), en particular para $q=9$, $A^{\prime\prime}(9)>0$.
Es decir, en $q=9$ hay un mínimo para el costo medio por unidad.
Por lo tanto, cuando se producen $9$ unidades del artículo el costo medio por unidad se hace mínimo.


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