Precio de la caja de galletas - Ecuaciones

Las utilidades diarias \(U\), en miles de dólares, de un fabricante de galletas, depende del precio de venta en dólares \(x\) de cada caja de galletas de acuerdo a \(U(x)=-0.005x^2+0.2x+0.8\) donde \(0\leq x\leq 12\).
Si desea una utilidad de 2080 dólares, ¿a qué precio debe vender cada caja de galletas?

Solución.

Queremos que la utilidad sea 2080 dólares, es decir, \(U(x)=2.08\) (pues \(U\) está en miles de dólares).
Luego
\[\begin{align}U(x)=-0.005x^2+0.2x+0.8&=2.08\\ 0.005x^2-0.2x+1.28&=0\qquad\ldots\mbox{(I)}\end{align}\]
Multiplicando \(\mbox{(I)}\) por 200 tenemos
\[x^2-40x+256=0\]
Factorizamos mediante aspa simple
\[(x-8)(x-32)=0\]
De donde
\[x-8=0\text{ ó }x-32=0\]
\[x=8\text{ ó }x=32\]
Pero \(x=32\) no puede ser, pues \(0\leq x\leq 12\).
Por lo tanto, \(x=8\), es decir, el precio de cada caja de galletas debe ser 8 dólares.


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