Utilidad mínima - Desigualdades

Sea el costo $C(x)=9x+600$ y la utilidad $U(x)=5x-600$, ambas en soles, donde $x$ representa el número de unidades producidas y vendidas. Si logró un ingreso de por lo menos 5600 soles, ¿cuál es la mínima utilidad obtenida?

Solución.

Sea $I(x)$ el ingreso, sabemos que $U(x)=I(x)-C(x)$, entonces $I(x)=U(x)+C(x)$, es decir
$$\begin{align}I(x)&=5x-600+9x+600\\ I(x)&=14x\end{align}$$
El ingreso es de por lo menos 5600 soles, es decir, $I(x)\geq 5600$.
Luego
$$\begin{align}I(x)=14x&\geq 5600\\ x&\geq\dfrac{5600}{14}\\ x&\geq 400\end{align}$$
Se tiene $U$ mínimo cuando $x$ sea mínimo, es decir, cuando $x=400$
$$\begin{align}U(400)&=5(400)-600\\ U(400)&=1400\text{ soles}\end{align}$$


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